每日一题[3091]三分天下

设 $a>0$，函数 $f(x)=\begin{cases} x+2, &x<-a, \\ \sqrt{a^2-x^2},&-a \leqslant x \leqslant a,\\ -\sqrt{x}-1, &x>a. \end{cases}$ 给出下列四个结论：

① $f(x)$ 在区间 $(a-1,+\infty)$ 上单调递減；

② 当 $a \geqslant 1$ 时，$f(x)$ 存在最大值；

③ 设 $M\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$（$x_1 \leqslant a$），$N\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$（$x_2>a$），则 $|M N|>1$；

④ 设 $P\left(x_3, f\left(x_3\right)\right)$（$x_3<-a$），$Q\left(x_4, f\left(x_4\right)\right)$（$x_4 \geqslant-a$）．若 $|P Q|$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围是 $\left(0, \dfrac{1}{2}\right]$．

其中所有正确结论的序号是_______．

答案    ②③．

解析    函数 $f(x)$ 的图象如图，其中半圆的半径为 $r$．

① 当 $a=\dfrac 12$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\dfrac 12,0\right)$ 上单调递增，结论错误；

② 当 $a\geqslant 1$ 时，有\[f(x)\begin{cases} <2-a,&x<-a,\\
\leqslant a,&-a\leqslant x\leqslant a,\\
<-\sqrt a-1,&x>a,\end{cases}\leqslant a,\]等号当且仅当 $x=0$ 时取得，因此 $f(x)$ 存在最大值 $a$，结论正确；

③ 根据题意，$N\left(a,-\sqrt a-1\right)$，记直线 $l:y=x+2$，$A(a,0)$，有\[|MN|\geqslant \begin{cases} d(N,l),&x_1<-a,\\
|PN|,&-a\leqslant x_1\leqslant a,\end{cases}=\begin{cases} \dfrac{a+\sqrt a+2}{\sqrt 2},&x_1<-a,\\
\sqrt a+1,&-a\leqslant x_1\leqslant a,\end{cases}>1,
\]结论正确；

④ 根据题意，原点 $O$ 在直线 $y=x$ 上的投影横坐标小于 $-a$，因此 $a$ 的取值范围是 $\left(0,1\right)$，结论错误．

综上所述，结论 ②③ 正确．