每日一题[157]端点定乾坤

2015年高考福建卷理科数学第20题（压轴题）：

已知函数\(f(x)=\ln (1+x)\)，\(g(x)=kx\)，\(k\in \mathcal R\)．

（1）证明：当\(x>0\)时，\(f(x)<x\)；

（2）证明：当\(k<1\)时，存在\(x_0>0\)，使得对任意\(x\in (0,x_0)\)，恒有\(f(x)>g(x)\)；

（3）确定\(k\)的所有可能取值，使得存在\(t>0\)，对任意\(x\in (0,t)\)，恒有\(\left|f(x)-g(x)\right|<x^2\)．

（1）证明    根据题意，当\(x>0\)时，有\[\left(f(x)-x\right)'=\dfrac 1{1+x}-1=\dfrac{-x}{1+x}<0,\]于是命题得证（如图）．

（2）证明    考虑\[\left(f(x)-g(x)\right)'=\dfrac{1}{x+1}-k,\]于是当\(0<x<\dfrac 1k-1\)时必然有\[\left(f(x)-g(x)\right)'>0,\]于是函数\(f(x)-g(x)\)在\(\left(0,\dfrac 1k-1\right)\)上单调递增，又\(f(0)-g(0)=0\)，于是取\(x_0=\dfrac 1k-1\)即可证明命题成立．

（3）解    根据题意当\(x\to 0+\)时，有\[-x^2<f(x)-g(x)<x^2,\]即\[\begin{cases}\ln (1+x)-kx-x^2<0,\\\ln(1+x)-kx+x^2>0,\end{cases}\]记\[\begin{split}h_1(x)=\ln (1+x)-kx-x^2,\\h_2(x)=\ln (1+x)-kx+x^2,\end{split}\]此时注意到\[h_1(0)=h_2(0)=0,\]于是\[h_1'(0)\leqslant 0 \leqslant h_2'(0),\]即\[1-k\leqslant 0 \leqslant 1-k,\]因此\(k=1\)．

事实上当\(k=1\)时，在\(0<x<1\)时，有\[\begin{split}h_1'(x)=\dfrac{1}{1+x}-1-2x=\dfrac{-2x^2-3x}{1+x}<0,\\h_2'(x)=\dfrac{1}{1+x}-1+2x=\dfrac{x+2x^2}{1+x}>0,\end{split}\]结合\[h_1(0)=h_2(0)=0,\]于是有\[h_1(x)<0<h_2(x)\]成立，即\[\left|f(x)-g(x)\right|<x^2\]成立，符合题意．