每日一题[3086]投影变化

已知圆 $O$ 的半径为 $1$，直线 $P A$ 与圆 $O$ 相切于点 $A$，直线 $P B$ 与 圆 $O$ 交于 $B, C$ 两点，$D$ 为 $B C$ 的中点，若 $|P O|=\sqrt{2}$，则 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PD}$ 的最大值为（       ）

A．$\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$

B．$\dfrac{1+2 \sqrt{2}}{2}$

C．$1+\sqrt{2}$

D．$2+\sqrt{2}$

答案    A．

解析    如图，由于 $OD\perp PD$，因此 $D$ 的轨迹是以 $OP$ 为直径的圆 $M$ 在圆 $O$ 的内部的弧 $A_1A$（不包含端点）．

因此 $\overrightarrow{PD}$ 在 $\overrightarrow{PA}$ 方向上的投影数量取值范围是 $\left(0,\dfrac{1+\sqrt 2}2\right]$，又 $\overrightarrow{PA}$ 的模为 $1$，因此所求最大值为 $\dfrac{1+\sqrt 2}2$．