已知定义在 R 上的函数 f(x),对于给定集合 A,若 ∀x1,x2∈R,当 x1−x2∈A 时都有 f(x1)−f(x2)∈A,则称 f(x) 是“A 封闭”函数.则下列命题正确的是( )
A.f(x)=x2 是“[−1,1] 封闭”函数
B.定义在 R 上的函数 f(x) 都是“{0} 封闭”函数
C.若 f(x) 是“{1} 封闭”函数,则 f(x) 一定是“{k} 封闭”函数 (k∈N∗)
D.若 f(x) 是“[a,b] 封闭”函数(a,b∈N∗),则 f(x) 是“{ab} 封闭”函数
答案 BCD.
解析 对于选项 A,取 (x1,x2)=(2,1),则 x1−x2∈[−1,1],但 f(x1)−f(x2)=3∉[−1,1],选项错误;
对于选项 B,当 A={0} 时,x1=x2,此时有 f(x1)=f(x2),选项正确;
对于选项 C,当 x1−x2=k 时,有f(x1)−f(x2)=f(x2+k)−f(x2)=k∑i=1(f(x2+i)−f(x2+i−1))=k∑i=11=k,
选项正确.
对于选项 D,当 x1−x2=ab 时,有f(x1)−f(x2)=f(x2+ab)−f(x2)=a∑i=1(f(x2+kb)−f(x2+(k−1)b))∈[a2,ab],
类似的,有 f(x1)−f(x2)=f(x2+ab)−f(x2)=b∑i=1(f(x2+ka)−f(x2+(k−1)a))∈[a2,ab]∈[ab,b2],
因此有 f(x1)−f(x2)=ab,选项正确.
综上所述,正确的命题有 B CD.
D选项是对的嘛