每日一题[3011]拾级而上

已知定义在 R 上的函数 f(x),对于给定集合 A,若 x1,x2R,当 x1x2A 时都有 f(x1)f(x2)A,则称 f(x) 是“A 封闭”函数.则下列命题正确的是(       )

A.f(x)=x2 是“[1,1] 封闭”函数

B.定义在 R 上的函数 f(x) 都是“{0} 封闭”函数

C.若 f(x) 是“{1} 封闭”函数,则 f(x) 一定是“{k} 封闭”函数 (kN)

D.若 f(x) 是“[a,b] 封闭”函数(a,bN),则 f(x) 是“{ab} 封闭”函数

答案    BCD.

解析    对于选项 A,取 (x1,x2)=(2,1),则 x1x2[1,1],但 f(x1)f(x2)=3[1,1],选项错误;

对于选项 B,当 A={0} 时,x1=x2,此时有 f(x1)=f(x2),选项正确;

对于选项 C,当 x1x2=k 时,有f(x1)f(x2)=f(x2+k)f(x2)=ki=1(f(x2+i)f(x2+i1))=ki=11=k,

选项正确.

对于选项 D,当 x1x2=ab 时,有f(x1)f(x2)=f(x2+ab)f(x2)=ai=1(f(x2+kb)f(x2+(k1)b))[a2,ab],

类似的,有 f(x1)f(x2)=f(x2+ab)f(x2)=bi=1(f(x2+ka)f(x2+(k1)a))[a2,ab][ab,b2],
因此有 f(x1)f(x2)=ab,选项正确.

综上所述,正确的命题有 B CD

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每日一题[3011]拾级而上》有一条回应

  1. Avatar photo Aliez说:

    D选项是对的嘛

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