每日一题[3011]拾级而上

已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$，对于给定集合 $A$，若 $\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，当 $x_1-x_2 \in A$ 时都有 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right) \in A$，则称 $f(x)$ 是“$A$ 封闭”函数．则下列命题正确的是（       ）

A．$f(x)=x^2$ 是“$[-1,1]$ 封闭”函数

B．定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 都是“$\{0\}$ 封闭”函数

C．若 $f(x)$ 是“$\{1\}$ 封闭”函数，则 $f(x)$ 一定是“$\{k\}$ 封闭”函数 $\left(k \in \mathbb{N}^{\ast}\right)$

D．若 $f(x)$ 是“$[a, b]$ 封闭”函数（$a, b \in \mathbb{N}^{\ast}$），则 $f(x)$ 是“$\{a b\}$ 封闭”函数

答案    BCD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，取 $(x_1,x_2)=(2,1)$，则 $x_1-x_2\in [-1,1]$，但 $f(x_1)-f(x_2)=3\notin [-1,1]$，选项错误；

对于选项 $\boxed{B}$，当 $A=\{0\}$ 时，$x_1=x_2$，此时有 $f(x_1)=f(x_2)$，选项正确；

对于选项 $\boxed{C}$，当 $x_1-x_2=k$ 时，有\[f(x_1)-f(x_2)=f(x_2+k)-f(x_2)=\sum_{i=1}^k\left(f(x_2+i)-f(x_2+i-1)\right)=\sum_{i=1}^k1=k,\]选项正确．

对于选项 $\boxed{D}$，当 $x_1-x_2=ab$ 时，有\[f(x_1)-f(x_2)=f(x_2+ab)-f(x_2)=\sum_{i=1}^a\left(f(x_2+kb)-f(x_2+(k-1)b)\right)\in \left[a^2,ab\right],\]类似的，有 \[f(x_1)-f(x_2)=f(x_2+ab)-f(x_2)=\sum_{i=1}^b\left(f(x_2+ka)-f(x_2+(k-1)a)\right)\in \left[a^2,ab\right]\in\left[ab,b^2\right],\]因此有 $f(x_1)-f(x_2)=ab$，选项正确．

综上所述，正确的命题有 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$$\boxed{D}$．