每日一题[2999]重绘图形

如图，在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB=BD\cos\angle ABD$．

1、判断 $\triangle ABD$ 的形状并证明．

2、若 $AB=\sqrt 3AD$，$BC=2\sqrt 3CD=12$，求四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 的最大值．

解析

1、$\triangle ABD$ 是以 $A$ 为直角的三角形，证明略

2、如图，$BC=12$，$D$ 在以 $C$ 为圆心 $2\sqrt 3$ 为半径的圆上运动，点 $D$ 经过位似变换 $\left(B,30^\circ:\dfrac{\sqrt 3}2\right)$ 得到点 $A$．

设 $C$ 经过位似变换 $\left(B,30^\circ:\dfrac{\sqrt 3}2\right)$ 得到点 $C'$，则点 $A$ 在以 $C'$ 为圆心 $2\sqrt 3\cdot\dfrac{\sqrt 3}2=3$ 为半径的圆上运动，此时 $|CC'|=\dfrac 12|BC|=6$，因此 $|AC|$ 的最大值为 $6+3=9$．