每日一题[2995]奇偶交错

已知 $f(x),g(x)$ 都是定义在 $\mathbb R$ 上的可导函数，且 $f(x+3)=g(-x)+4$，$f'(x)+g'(1+x)=0$，函数 $g(2x+1)$ 为偶函数，则下列说法正确的有（       ）

A．$g'(1)=0$

B．函数 $f(x)$ 的图象关于 $x=2$ 对称

C．函数 $f'(x)$ 的图象关于 $x=1$ 对称

D．$\displaystyle\sum_{k=1}^{2023}f'(k)g'(k)=1$

答案    ABC．

解析    由 $f(x+3)=g(-x)+4$ 可得

$$f(x)=g(3-x)+4,$$ 从而 $$f'(x)=-g'(3-x),$$ 因此 $$g'(3-x)=g'(1+x),$$ 因此 $g'(x)$ 关于 $x=2$ 对称．而 $g(2x+1)$ 为偶函数，于是 $g(x)$ 关于 $x=1$ 对称，从而 $g'(1)=0$，函数 $f(x)$ 关于 $x=2$ 对称，函数 $f'(x)$ 关于 $x=1$ 对称，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 正确． 由于 $g'(x)$ 关于 $(1,0)$ 和 $x=2$ 对称，因此当 $k$ 为奇数时，$g'(k)=0$；当 $k$ 为偶数时，$f'(k)=0$，因此 $$\sum_{k=1}^{2023}f'(k)g'(k)=0,$$ 选项 $\boxed{D}$ 错误． 综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．