已知函数 $f(x)=-\dfrac{\ln^2 x}{2}+x+\ln x-1$，$g(x)=(x-1) \mathrm{e}^x-\dfrac{a x^2}{2}+a^2$，$a<1$．
1、判断 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $g(x)$ 有唯一零点，求实数 $a$ 的取值范围．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{(x+1)-\ln x}{x},\]于是 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．
2、函数 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=x\left({\rm e}^x-a\right).\]
情形一 $a< 0$．此时 $g(x)$ 满足\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&+\infty&(-\infty,0)&0&(0,+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&0&\searrow&a^2-1&\nearrow&+\infty\\ \hline \end{array}\] 因此当 $a^2-1=0$，即 $a=-1$ 时 $g(x)$ 有唯一零点．
情形二 $a=0$．此时 $g(x)=(x-1){\rm e}^x$，有唯一零点 $x=1$，符合题意．
情形三 $0<a<1$．此时 \[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&(-\infty,\ln a)&\ln a&(\ln a,0)&0&(0,+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&-\infty&\nearrow&a(\ln a-1)-\dfrac{a\ln^2a}{2}+a^2a=f(a)&\searrow&a^2-1&\nearrow&+\infty\\ \hline\end{array}\]根据第 $(1)$ 题的结论，当 $0<a<1$ 时，有\[af(a)<af(1)=0,\]因此函数在 $(0,+\infty)$ 有唯一零点，符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\{-1\}\cup [0,1)$．