每日一题[2985]参数转化

已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}-a x$．

1、若 $f(x) \leqslant-1$，求实数 $a$ 的取值范围．

2、若 $f(x)$ 有 $2$ 个不同的零点 $x_1, x_2$（$x_1<x_2$），求证：$2 x_1^2+3 x_2^2>\dfrac{12}{5 a}$．

解析

1、不等式 $f(x)\leqslant -1$ 即 $$\ln x-ax^2+x\leqslant 0,$$ 设不等式左侧为函数 $g(x)$，则 $$g(1)\leqslant 0\implies 1-a\leqslant 0\implies a\geqslant 1.$$ 当 $a\geqslant 1$ 时，有 $$g(x)\leqslant \ln x-x^2+x\leqslant x-1-x^2+x=-(1-x)^2\leqslant 0,$$ 符合题意，因此实数 $a$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$．

2、根据题意，有 $$a=\dfrac{\ln x_1}{x_1^2}=\dfrac{\ln x_2}{x_2^2},$$ 设 $\dfrac{x_2}{x_1}=t$（$t>1$），则 $$\dfrac{\ln x_1}{x_1^2}=\dfrac{\ln x_1+\ln t}{t^2x_1^2}\implies \ln x_1=\dfrac{\ln t}{t^2-1},$$ 进而 $\ln x_2=\dfrac{t^2\ln t}{t^2-1}$，因此 $$\begin{split} \dfrac{5a}{12}\left(2x_1^2+3x_2^2\right)&=\dfrac{10\ln x_1+15\ln x_2}{12}\\ &=\dfrac{(10+15t^2)\ln t}{12(t^2-1)}\\ &>\dfrac{(10+15t^2)\cdot \dfrac{2(t-1)}{t+1}}{12(t^2-1)}\\ &=\dfrac{10+15t^2}{6+12t+6t^2}\\ &=1+\dfrac{(2-3t)^2}{6(1+t)^2}\\ &>1,\end{split}$$ 命题得证．