每日一题[2973]紧抓要点

已知函数 $f(x)=a x^2-{\rm e}^{x-1}$．

1、当 $a=\dfrac{1}{2}$ 时，证明：$f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上为减函数．

2、当 $x \in\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，$f(x) \leqslant a \cos x$，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、当 $a=\dfrac 12$ 时，$f(x)=\dfrac 12x^2-{\rm e}^{x-1}$，于是其导函数

$$f'(x)=x-{\rm e}^{x-1}\leqslant 0,$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上为减函数．

2、不等式 $f(x)\leqslant a\cos x$ 即

$$a\left(x^2-\cos x\right){\rm e}^{-x}- \dfrac 1{\rm e}\leqslant 0,$$ 设左侧函数为 $g(x)$，则当 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$ 时，其导函数 $$g'(x)=a\left(2x+\sin x-x^2+\cos x\right),$$ 而 $$2x+\sin x-x^2+\cos x=\sin x+\cos x+x(2-x)>0,$$ 于是函数 $g(x)$ 在 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$ 上单调（$a>0$ 时单调递增，$a<0$ 时单调递减）或者为常数（$a=0$ 时），因此题意即 $$\begin{cases} g(0)\leqslant 0,\\ g\left(\dfrac{\pi}2\right)\leqslant 0,\end{cases}\iff -\dfrac{1}{\rm e}\leqslant a\leqslant \dfrac{4{\rm e}^{\frac{\pi}2-1}}{\pi^2},$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{1}{\rm e},\dfrac{4{\rm e}^{\frac{\pi}2-1}}{\pi^2}\right]$．