每日一题[2972]三叉戟

已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac{a-x^2}{2 x}$．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$ 有两个实数解，求 $a$ 的最大整数值．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数为

$$f'(x)=\dfrac{-x^2+2x-a}{2x^2},$$ 于是讨论分界点为 $a=0,1$．

情形一      $a\leqslant 0$．此时函数 $f(x)$ 在 $\left(0,1+\sqrt{1-a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(1+\sqrt{1-a},+\infty\right)$ 上单调递减．

情形二     $0<a<1$．此时函数 $f(x)$ 在 $\left(0,1-\sqrt{1-a}\right)$ 上单调递减，在 $\left(1-\sqrt{1-a},1+\sqrt{1-a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(1+\sqrt{1-a},+\infty\right)$ 上单调递减．

情形三     $a\geqslant 1$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减．

2、方程 $f(x)=a$ 即

$$\ln x+\dfrac{a-x^2}{2x}=a\iff a=\dfrac{\ln x-\dfrac x2}{1-\dfrac{1}{2x}}\iff a=\dfrac{2x\ln x-x^2}{2x-1},$$ 设方程右侧为函数 $g(x)$，则 $$g'(x)=\dfrac{-2(x^2-3x+1+\ln x)}{(2x-1)^2},$$ 设 $h(x)=x^2-3x+1+\ln x$，则其导函数 $$h'(x)=2x-3+\dfrac 1x,$$ 因此当 $x\in(0,1)$ 时，有 $h(x)<0$；当 $x\in(1,+\infty)$ 时，有 $h(x)$ 单调递增，而 $h(1)=-1$，因此函数 $g(x)$ 在 $x\in\left(0,\dfrac 12\right)$ 上单调递增，在 $x\in\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 上先递增后递减．设 $h(x)$ 的零点为 $m$，$M=g(m)$，则 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&\left(0,\dfrac 12\right)&\left(\dfrac 12\right)^-&\left(\dfrac 12\right)^+&\left(\dfrac 12,m\right)&m&\left(m,+\infty\right)&+\infty\\ \hline g(x)&0&\nearrow&+\infty&-\infty&\nearrow&M&\searrow&-\infty\\ \hline \end{array}$$ 注意到 $$h(2)=\ln 2-1<0,$$ 于是 $m>2$，因此 $$M>g(2)=\dfrac{4\ln 2-4}{3}=-1+\dfrac{4\ln 2-1}{3}>-1,$$ 又 $$2x\ln x-x^2=x^2\left(\dfrac{2\ln x}{x}-1\right)\leqslant x^2\left(\dfrac2{\rm e}-1\right)<0,$$ 因此 $M\in (-1,0)$，从而 $a$ 的最大整数值为 $-1$．