每日一题[2959]对数平均

已知函数 $f(x)=a \ln x-x^2$（$a \in \mathbb R$）．

1、求函数 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $x \geqslant 1$ 时，$f(x) \leqslant 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

3、设 $a>0$，若 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 为曲线 $y=f(x)$ 上的两个不同点，满足 $0<x_1<x_2$，且 $x_3 \in\left(x_1, x_2\right)$，使得曲线 $y=f(x)$ 在 $x=x_3$ 处的切线与直线 $A B$ 平行，求证：$x_3<\dfrac{x_1+x_2}{2}$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac {-2x^2+a}{x},$$ 于是当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减；当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\sqrt{\dfrac a2}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\sqrt{\dfrac a2},+\infty\right)$ 上单调递减．

2、根据题意，有

$$\forall x\geqslant 1,~a\ln x-x^2\leqslant 0,$$ 即 $$\forall x>1,~a\leqslant \dfrac{x^2}{\ln x},$$ 设不等式右侧为函数 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{x(2\ln x-1)}{\ln^2x},$$ 因此 $g(x)$ 的最小值为 $g\left(\sqrt {\rm e}\right)=2{\rm e}$，所以实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,2{\rm e}]$．

3、当 $a>0$ 时，有 $f'(x)$ 单调递减，因此

$$x_3<\dfrac{x_1+x_2}2\iff f'(x_3)>f'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right),$$ 也即 $$\dfrac{y_1-y_2}{x_1+x_2}>-(x_1+x_2)+\dfrac{2a}{x_1+x_2},$$ 即 $$\dfrac{a(\ln x_1-\ln x_2)-(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{x_1-x_2}>-(x_1+x_2)+\dfrac{2a}{x_1+x_2},$$ 也即 $$\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}>\dfrac2{x_1+x_2},$$ 根据对数平均不等式，命题得证．