每日一题[2957]设而不求

已知函数 $f(x)=a x^2-2 x+1$，$g(x)=\ln x$．

1、当 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的切线与 $g(x)$ 在 $x=1$ 处的切线相互平行且距离为 $\sqrt{2}$ 时，求 $a, x_0$ 的值．

2、设 $F(x)=f(x)+g(x)$，当 $F(x)$ 有两个不同极值点 $x_1, x_2$ 时，求证：$F\left(x_1\right)+F\left(x_2\right)<-1$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)=2ax-2$，因此 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的切线方程为

$$y=(2ax_0-2)(x-x_0)+(ax_0^2-2x_0+1),$$ 函数 $g(x)$ 的导函数 $g'(x)=\dfrac 1x$，因此 $g(1)=0$，$g'(1)=1$，因此 $g(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程为 $y=x-1$．因此 $$\begin{cases} 2ax_0-2=1,\\ \dfrac{|(ax_0^2-2x_0+1)-(-1)|}{\sqrt 2}=\sqrt 2,\end{cases}\iff \begin{cases} x_0=\dfrac 83,\\ a=\dfrac9{16},\end{cases}$$ 因此 $a=\dfrac 9{16}$，$x_0=\dfrac 83$．

2、根据题意，有 $F(x)=ax^2-2x+1+\ln x$，于是其导函数

$$F'(x)=2x\left(a-\dfrac 1x-\dfrac{1}{2x^2}\right),$$ 因此关于 $t$ 的方程 $a=t-\dfrac 12t^2$ 在 $t>0$ 上有 $2$ 个变号零点，从而实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 12\right)$，且此时 $$x_1+x_2=\dfrac 1a,\quad x_1x_2=\dfrac{1}{2a},$$ 从而 $$\begin{split} F(x_1)+F(x_2)&=a(x_1^2+x_2^2)-2(x_1+x_2)+\ln x_1+\ln x_2+2\\ &=a(x_1+x_2)^2-2ax_1x_2-2(x_1+x_2)+\ln(x_1x_2)+2\\ &=-\dfrac 1a+\ln\dfrac{1}{2a}+1\\ &\leqslant -\dfrac 1a+\left(\dfrac{1}{2a}-1\right)+1\\ &=-\dfrac 1{2a}<-1,\end{split}$$ 命题得证．