每日一题[2956]分离变量

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} {\rm e}^{2 x}-a {\rm e}^x+a x$ 有两个极值点．

1、求 $a$ 的取值范围．

2、设 $f(x)$ 的两个极值点分别为 $x_1, x_2$，若不等式 $f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)<\lambda\left({\rm e}^{x_1}+{\rm e}^{x_2}\right)$ 恒成立，求 $\lambda$ 的最小值．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^{2x}-a{\rm e}^x+a,$$ 根据题意，关于 $t$ 的方程 $t^2-at+a=0$ 即 $a=\dfrac{t^2}{t-1}$，在 $t\in (0,+\infty)$ 上有两个变号零点，进而所求实数 $a$ 的取值范围是 $(4,+\infty)$．

2、根据韦达定理，有

$${\rm e}^{x_1}+{\rm e}^{x_2}=a,\quad {\rm e}^{x_1}\cdot {\rm e}^{x_2}=a,$$ 其中 $a>4$，于是 $$\begin{split} \lambda&>\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{{\rm e}^{x_1}+{\rm e}^{x_2}}\\ &=\dfrac{\dfrac 12\left({\rm e}^{2x_1}+{\rm e}^{2x_2}\right)-a\left({\rm e}^{x_1}+{\rm e}^{x_2}\right)+a(x_1+x_2)}{a}\\ &=\dfrac{\dfrac 12(a^2-2a)-a^2+a\ln a}{a}\\ &=\ln a-\dfrac a2-1,\end{split}$$ 设 $g(x)=\ln x-\dfrac x2-1$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac {2-x}{2x},$$ 因此 $g(x)$ 在 $(4,+\infty)$ 上单调递减，因此 $\lambda$ 的最小值为 $g(4)=2\ln 2-3$．