每日一题[2955]中值相依

已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{1}{2} a x^2+(a-1) x$（$a \in \mathbb R$，且 $a \neq 0$）．

1、求函数 $f(x)$ 的单调性．

2、记函数 $y=F(x)$ 的图象为曲线 $C$，设点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 是曲线 $C$ 上的不同两点．如果在曲线 $C$ 上存在点 $M\left(x_0, y_0\right)$，使得

① $x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}$；

② 曲线 $C$ 在点 $M$ 处的切线平行于直线 $A B$， 则称函数 $F(x)$ 存在“中值相依切线”．

试问：函数 $f(x)$ 是否存在中值相依切线，请说明理由．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{-a(x-1)(ax+1)}{x},$$ 于是讨论分界点为 $a=-1,0$．

情形一    $a<-1$．此时函数 $f(x)$ 在 $\left(0,-\dfrac 1a\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\dfrac 1a,1\right)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．

情形二     $a=-1$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．

情形三    $-1<a<0$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $\left(1,-\dfrac 1a\right)$ 上单调递减，在 $\left(-\dfrac 1a,+\infty\right)$ 上单调递增．

情形四     $a>0$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减．

2、直线 $AB$ 的斜率

$$k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}-\dfrac a2(x_1+x_2)+(a-1),$$ 曲线 $C$ 在 $M$ 处的切线斜率 $$k_0=f'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)=\dfrac{2}{x_1+x_2}-\dfrac a2(x_1+x_2)+(a-1),$$ 根据对数平均不等式，有 $$\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}>\dfrac{2}{x_1+x_2},$$ 因此 $k_0>k$，因此函数 $f(x)$ 不存在中值相依直线．