每日一题[2929]精确计算

已知函数 $f(x)=\ln x$，$h(x)=a x$（$a \in \mathbb R$）．

1、函数 $f(x)$ 的图象与 $h(x)$ 的图象无公共点，求实数 $a$ 的取值范围．

2、是否存在实数 $m$，使得对任意的 $x \in\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$，都有函数 $y=f(x)+\dfrac{m}{x}$ 的图象在 $g(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x}$ 的图象的下方？若存在，请求出整数 $m$ 的最大值；若不存在，请说明理由． （参考数据：$\ln 2=0.6931\cdots$，$\ln 3=1.0986\cdots$，$\sqrt {\rm e}=1.6487\cdots$，$\sqrt[3]{\rm e}=1.3956\cdots$）

解析

1、方程 $f(x)=h(x)$ 即 $a=\dfrac{\ln x}{x}$，设 $\varphi(x)=\dfrac{\ln x}x$，则其导函数

$$\varphi'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2},$$ 于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0+&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline \varphi(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0\\ \hline\end{array}$$ 因此当 $a\in\left(-\infty,\dfrac{1}{\rm e}\right]$ 时函数 $f(x)$ 的图象与 $h(x)$ 的图象有公共点，因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$．

2、根据题意，有

$$\forall x>\dfrac 12,~\ln x+\dfrac mx<\dfrac{{\rm e}^x}{x},$$ 即 $$\forall x>\dfrac 12,~m<{\rm e}^x-x\ln x,$$ 设不等式右侧函数为 $p(x)$，则其导函数 $$p'(x)={\rm e}^x-1-\ln x\geqslant (x+1)-1-(x-1)=1>0,$$ 于是 $p(x)$ 在 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$ 上单调递增，从而题意即 $$m\leqslant p\left(\dfrac 12\right)=\sqrt{\rm e}+\dfrac 12\ln2<1.6488+\dfrac 12\cdot 0.6932=1.9954<2,$$ 因此整数 $m$ 的最大值为 $1$．