每日一题[2920]端点分析

已知函数 $f(x)=x {\rm e}^x-a \ln x-a x$．

1、若 $a={\rm e}$，讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、若对任意 $x>0$ 恒有不等式 $f(x) \geqslant 1$ 成立，求实数 $a$ 的值．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x+x{\rm e}^x-\dfrac ax-a=\dfrac{(x+1)\left(x{\rm e}^x-a\right)}{x},$$ 当 $a={\rm e}$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．

2、题意即 $$\forall x>0,~x{\rm e}^x-a\ln\left(x{\rm e}^x\right)\geqslant 1,$$ 也即 $$\forall x>0,~x-a\ln x \geqslant 1,$$ 设 $g(x)=x-a\ln x-1$，则 $g(1)=0$，进而 $$g'(x)=\dfrac{x-a}{x},$$ 于是 $g'(1)=1-a$．

当 $a=1$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=1$ 处取得极小值，也为最小值 $g(1)=0$，符合题意．

当 $a>1$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(1,a)$ 上单调递减，于是在该区间上 $g(x)<g(1)=0$，不符合题意．

当 $a<1$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(\max\{0,a\},1)$ 上单调递增，于是在该区间上 $g(x)<g(1)=0$，不符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的值为 $1$．