每日一题[2919]极值点估计

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-x-m x^2, ~x \in(0,+\infty)$．

1、若 $f(x)$ 是增函数，求实数 $m$ 的取值范围．

2、当 $m=1$ 时，求证：$f(x)>\dfrac{1}{4}$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x-1-2mx,$$ 函数 $f(x)$ 在 $x\in (0,+\infty)$ 上是增函数即 $$\forall x>0,~{\rm e}^x-1-2mx\geqslant 0,$$ 注意到 $f(0)=f'(0)=0$，而 $$f''(x)={\rm e}^x-2m,$$ 且 $f''(0)=1-2m$，于是讨论分界点为 $m=\dfrac 12$．

情形一     $m\leqslant \dfrac 12$．此时 $$f'(x)\geqslant {\rm e}^x-1-x\geqslant 0,$$ 于是 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，符合题意．

情形二     $m>\dfrac 12$．此时在 $x\in\left(0,\ln(2m)\right)$ 上，有 $f''(x)<0$，从而在该区间上 $f'(x)$ 单调递减，进而 $f'(x)<f'(0)=0$，于是在该区间上 $f(x)$ 单调递减，不符合题意．

综上所述，实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 12\right]$．

2、当 $m=1$ 时，有 $f(x)={\rm e}^x-x-x^2$，从而 $$f'(x)={\rm e}^x-1-2x,\quad f''(x)={\rm e}^x-2,$$ 因此 $f'(x)$ 在 $(0,\ln 2)$ 上单调递减，在 $(\ln 2,+\infty)$ 上单调递增，结合 $f'(0)=0$，可得函数 $f'(x)$ 在 $(\ln 2,+\infty)$ 上有唯一零点，记为 $t$，满足 $${\rm e}^t=1+2t,$$ 函数 $f(x)$ 在 $x=t$ 取得极小值，也为 $x\in (0,+\infty)$ 上的最小值 $$T=f(t)={\rm e}^x-t-t^2=(1+2t)-t-t^2=-t^2+t+1.$$ 由于 $${\rm e}^t=1+2t>1+t+\dfrac 12t^2+\dfrac 16t^3\implies t<\dfrac{\sqrt {33}-3}2,$$ 从而 $$T>-t^2+t+1\Bigg |_{t=\frac{\sqrt {33}-3}2}=2\sqrt{33}-11=0.489\cdots>\dfrac14,$$ 命题得证．

备注    $f(x)$ 的极小值真实值为 $0.6778\cdots$，事实上，由 $${\rm e}^t>1+t+\dfrac 12t^2+\dfrac 16t^3+\dfrac1{24}t^4$$ 可以证明 $t<\dfrac 43$，从而得到 $T>\dfrac 59=0.5555\cdots$．而题中 $\dfrac 14$ 的结果是由 $t<\dfrac 32$ 得到的．