每日一题[2918]极值点估计

已知 $f(x)=a x-\ln x$（$a \in \mathbb R$）．

1、若 $a=-1$，求证：$f(x) \geqslant 1-x {\rm e}^x$．

2、求证：$\dfrac{\ln x}{{\rm e}^x}<\dfrac{1}{{\rm e}^2}$．

解析

1、当 $a=-1$ 时，有

$$f(x)-(1-x{\rm e}^x)=x{\rm e}^x-x-\ln x-1=\left(x{\rm e}^x-1\right)-\ln\left(x{\rm e}^x\right)\geqslant 0,$$ 等号当 $x{\rm e}^x=1$ 时取得，因此不等式得证．

2、设 $g(x)=\dfrac{\ln x}{{\rm e}^x}$，则其导函数

$$g'(x)=\dfrac{1-x\ln x}{x{\rm e}^x},$$ 因此只需要证明当 $m\ln m=1$ 时，$\dfrac{\ln m}{{\rm e}^m}<\dfrac{1}{{\rm e}^2}$．事实上，有 $$\ln\dfrac{{\rm e}^m}{\ln m}=\ln m+m=\dfrac 1m+m,$$ 而 $$1-\dfrac 1m<\ln m=\dfrac 1m<m-1\implies \dfrac{1+\sqrt 5}2<m<2\implies \sqrt5 <\dfrac 1m+m<\dfrac 52,$$ 因此 $${\rm e}^{-\frac 52}<\dfrac{\ln m}{{\rm e}^m}<{\rm e}^{-\sqrt 5}<{\rm e}^{-2},$$ 命题得证．

备注    若使用进阶放缩估计

$$\dfrac{2(m-1)}{m+1}<\ln m=\dfrac 1m<\dfrac 12\left(m-\dfrac 1m\right),$$ 则可得 $$1.732\cdots=\sqrt 3<m<\dfrac{3+\sqrt {17}}4=1.780\cdots.$$