每日一题[2916]分析通项

设函数 $f(x)=x^{2}+(a-2) x-a \ln x$（$a \in \mathbb{R}$）．

1、若 $a=1$，求 $f(x)$ 的极值．

2、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

3、若 $n \in \mathbb{N}^{*}$，证明：$\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{2}{3^{2}}+\dfrac{3}{4^{2}} \cdots+\dfrac{n}{(n+1)^{2}}<\ln (n+1)$．

解析

1、当 $a=1$ 时，有

$$f(x)=x^2-x-\ln x,$$ 其导函数 $$f'(x)=\dfrac{2x+1}{x}\cdot (x-1),$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值 $f(1)=0$，没有极大值．

2、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{(2x+a)(x-1)}{x},$$ 讨论分界点为 $a=-2,0$．

情形一     $a<-2$．此时 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $\left(1,-\dfrac a2\right)$ 上单调递减，在 $\left(-\dfrac a2,+\infty\right)$ 上单调递增．

情形二     $a=-2$．此时 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．

情形三     $-2<a<0$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $\left(-\dfrac a2,1\right)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．

情形四     $a\geqslant 0$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．

3、当 $n=1$ 时，题中不等式即 $\dfrac14<\ln 2$，显然成立． 当 $n\geqslant 2$ 时，分析通项，只需要证明

$$\dfrac{n}{(n+1)^2}\leqslant \ln\dfrac{n+1}{n},$$ 事实上，有 $$\ln\dfrac{n+1}{n}>1-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}>\dfrac{n}{(n+1)^2},$$ 命题得证．