每日一题[2913]比大小

已知正数 $a,b$ 满足等式 $a^2-b=2(2\ln b-\ln a)$，则下列不等式中可能成立的有（        ）

A．$a>b^2>\dfrac 12$

B．$a<b^2<\dfrac 12$

C．$a>b>1$

D．$b<a<1$

答案    AC．

解析    根据题意，有

$$a^2+2\ln a=b+4\ln b,$$ 记 $f(x)=x^2+2\ln x$，$g(x)=x+4\ln x$，则 $f(x),g(x)$ 均为 $\mathbb R^+$ 上的单调递增函数．考虑 $$f(x)-g(x)=x^2-x-2\ln x,$$ 当 $x>1$ 时，有 $$f(x)-g(x)<x^2-x-2\cdot \dfrac{2(x-1)}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x^2+x-4)}{x+1},$$ 因此在区间 $x\in \left(1,\dfrac{-1+\sqrt{17}}2\right)$ 上，有 $$f(x)-g(x)<0,$$ 因此取 $b\in \left(1,\dfrac{-1+\sqrt{17}}2\right)$，就有 $$f(b)<g(b)=f(a)\implies a>b>1,$$ 选项 $\boxed{C}$ 正确． 当 $0<x<1$ 时，有 $$f(x)-g(x)=x^2-x-2\ln x>x^2-x-2(x-1)=x^2-3x+2=(1-x)(2-x)>0,$$ 因此若 $a<1$，则 $$g(b)=f(a)>g(a)\implies b>a,$$ 选项 $\boxed{D}$ 错误． 记 $h(x)=\sqrt x+2\ln x$，则 $f(a)=h(b^2)$，且 $$f(x)-h(x)=x^2-\sqrt x=\sqrt x\left(x^{\frac 32}-1\right)\begin{cases} >0,&x>1,\\ <0,&0<x<1,\end{cases}$$ 因此若 $b^2>\dfrac 12$，取 $b^2\in\left(\dfrac 12,1\right)$，则 $$f(a)=h(b^2)>f(b^2)\implies a>b^2,$$ 选项 $\boxed{A}$ 正确． 若 $a<\dfrac 12$，则 $$h(b^2)=f(a)<h(a)\implies b^2<a,$$ 选项 $\boxed{B}$ 错误． 综上所述，选项 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ 正确．