每日一题[2912]相关曲线

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$．过点 $D(1,0)$ 且不经过点 $M(1,1)$ 的直线与椭圆交于 $P,Q$ 两点，直线 $MQ$ 与直线 $x=4$ 交于 $E$ 点，直线 $PE$ 与直线 $MD$ 交于 $N$ 点．求证：$\triangle EMN$ 的面积为定值．

答案    定值为$3$．

解析    设 $E(4,t)$，$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，$PQ:x=ky+1$，$M(1,m)$，$N(1,n)$，则当 $k,t$ 确定时，点 $P,Q,M,N$ 的位置随之确定．由 $TPM,TQN$ 分别共线，可得

$$\begin{cases} \dfrac {t-m}3=\dfrac{y_1-m}{x_1-1},\\ \dfrac{t-n}3=\dfrac{y_2-n}{x_2-1},\end{cases}\iff \begin{cases} \dfrac 1{y_1}=\left(1-\dfrac 13kt\right)\cdot \dfrac 1m+\dfrac 13k,\\ \dfrac1{y_2}=\left(1-\dfrac13kt\right)\cdot \dfrac 1n+\dfrac 13k,\end{cases}$$ 从而 $$\dfrac{1}{y_1}+\dfrac{1}{y_2}=\left(1-\dfrac 13kt\right)\cdot \left(\dfrac 1m+\dfrac 1n\right)+\dfrac23k.$$ 联立 $PQ$ 与椭圆方程，可得 $$\dfrac 3{y^2}-\dfrac{2k}y-(k^2+4)=0,$$ 从而 $$\dfrac1{y_1}+\dfrac{1}{y_2}=\dfrac 23k,$$ 这样就得到了 $$\dfrac 1m+\dfrac 1n=0\iff m+n=0,$$ 当 $m=1$ 时，有 $n=-1$，进而 $\triangle EMN$ 的面积为定值 $3$．