每日一题[2910]解三角形

记锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，已知 \[ (\sin A-2 \sin 2 B) \tan A=2-2 \cos 2 B. \]

1、求 $\dfrac{a^2}{b c}$．

2、求 $\dfrac{\sin B+\sin C}{\sin A}$ 的取值范围．

解析

1、根据题意，有\[(\sin A-4\sin B\cos B)\sin A=4\sin^2B\cos A,\]即\[\sin^2A=4\sin B\left(\sin A\cos B+\cos A\sin B\right),\]也即\[\sin ^2A=4\sin B\sin C\iff a^2=4bc,\]从而 $\dfrac{a^2}{bc}=4$．

2、根据题意，有 $a=2\sqrt {bc}$，且\[\dfrac{\sin B+\sin C}{\sin A}=\dfrac{b+c}a=\dfrac 12\left(t+\dfrac 1t\right),\]其中 $t=\sqrt{\dfrac bc}$．不妨设 $c=1$，$t\geqslant 1$，则三角形的三边分别为 $1,2t,t^2$．此时 $\triangle ABC$ 为锐角三角形即\[\begin{cases} 1+4t^2>t^4,\\ 1+t^4>4t^2,\end{cases}\iff 2+\sqrt 3<t<2+\sqrt 5,\]于是所求取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt 6}2,\dfrac{\sqrt{2\sqrt 5+2}}2\right)$．