已知不等式 $x\ln x-m(x-1)+2x-1>0$ 在 $x\in(1,+\infty)$ 上恒成立，则整数 $m$ 的最大值是______．
答案 $4$．
解析 题中不等式即\[\forall x>1,~m<\dfrac{x\ln x+2x-1}{x-1},\]记不等式右侧函数为 $f(x)$，其导函数\[f'(x)=\dfrac{x-\ln x-2}{(x-1)^2},\]从而函数 $f(x)$ 有极小值点 $m$，且 $f(x)$ 的最小值为 $f(m)$，其中 $\ln m=m-2$，从而\[f(m)=\dfrac{m\ln m+2m-1}{m-1}=\dfrac{m(m-2)+2m-1}{m-1}=m+1,\]容易估计出 $m\in(3,4)$，因此 $f(m)\in (4,5)$，从而整数 $m$ 的最大值为 $4$．