每日一题[2898]三合一放缩

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\left(\dfrac{1}{2} x^2+a x+1\right)$．

1、当 $a \leqslant 1$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的零点个数．

2、当 $a=0$ 时，证明不等式 $x\big(f(x)+2\big)+1 \geqslant(1+\sin x)^2$ 对任意 $x\geqslant 0$ 恒成立．

解析

1、当 $a\leqslant 1$，有函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x-x-a\geqslant (x+1)-x-a\geqslant 0,$$ 因此函数 $f(x)$ 单调递增，结合 $f(0)=0$，可得函数 $f(x)$ 有唯一零点 $x=0$．

2、欲证明不等式即

$$x\left({\rm e}^x-\dfrac 12x^2+1\right)\geqslant \sin x\left(2+\sin x\right),$$ 事实上，当 $x\geqslant 0$ 时，有 $${\rm e}^x-\dfrac 12x^2+1\geqslant \left(1+x+\dfrac 12x^2\right)-\dfrac 12x^2+1=2+x,$$ 又 $x\geqslant |\sin x|\geqslant 0$ 因此 $$x\left({\rm e}^x-\dfrac 12x^2+1\right)\geqslant|\sin x|\cdot (2+|\sin x|)\geqslant \sin x\left(2+\sin x\right),$$ 命题得证．