每日一题[2896]和差化积

已知函数 $f(x)=x-\dfrac 12\sin x+m\ln x+1$．

1、当 $m=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线的斜率．

2、若存在 $x_1,x_2\in (0,+\infty)$，且当 $x_1\ne x_2$ 时，$f(x_1)=f(x_2)$，求证：$\dfrac{x_1x_2}{4m^2}<1$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=1-\dfrac 12\cos x+\dfrac mx,$$ 当 $m=1$ 时，曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线的斜率为 $f'(1)=2-\dfrac 12\cos 1$．

2、根据题意，若 $m\geqslant 0$，则 $$f'(x)=1-\dfrac 12\cos x+\dfrac mx\geqslant 1-\dfrac 12\cos x>0,$$ 因此 $f(x)$ 单调递增，与 $f(x_1)=f(x_2)$ 矛盾；因此 $m<0$．不妨设 $x_1>x_2$，有 $$x_1-\dfrac 12\sin x_1+m\ln x_1+1=x_2-\dfrac 12\sin x_2+m\ln x_2+1,$$ 于是 $$m(\ln x_1-\ln x_2)=-(x_1-x_2)+\dfrac{\sin x_1-\sin x_2}2,$$ 根据对数平均不等式，有 $$\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}>\sqrt{x_1x_2}\implies \ln x_1-\ln x_2<\dfrac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1x_2}},$$ 因此 $$-(x_1-x_2)+\dfrac{\sin x_1-\sin x_2}2<m\cdot \dfrac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1x_2}},$$ 即 $$\dfrac{m}{\sqrt{x_1x_2}}<-1+\dfrac{\sin x_1-\sin x_2}{2(x_1-x_2)}=-1+\dfrac 12\cdot \dfrac{\cos\dfrac{x_1+x_2}2\sin\dfrac{x_1-x_2}{2}}{\dfrac{x_1-x_2}2}<-\dfrac 12,$$ 从而 $\dfrac{x_1x_2}{4m^2}<1$，命题得证．