每日一题[2894]估计极差

已知函数 $f(x)=x^2-x+k \ln x$．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、若函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1 , x_2$，证明：$\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<\dfrac{1}{4}-2 k$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{2x^2-x+k}x,$$ 其判别式 $\Delta=1-8k$，讨论分界点为 $k=0,\dfrac 18$．记 $x_1=\dfrac{1-\sqrt{1-8k}}4$，$x_2=\dfrac{1+\sqrt{1-8k}}4$，其中 $k\leqslant \dfrac 18$．

情形一    $k\leqslant 0$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,x_2)$ 上单调递增，在 $(x_2,+\infty)$ 上单调递减．

情形二     $0<k<\dfrac 18$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,x_1)$ 上单调递增，在 $(x_1,x_2)$ 上单调递减，在 $(x_2,+\infty)$ 上单调递增．

情形三     $k\geqslant \dfrac 18$．此时函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．

2、根据题意，$x=x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $2x^2-x+k=0$ 的两个根，其中 $0<k<\dfrac 18$．不妨设 $x_1<x_2$，则

$$\begin{split} |f(x_1)-f(x_2)|&=f(x_1)-f(x_2)\\ &=(x_1^2-x_1+k\ln x_1)-(x_2^2-x_2+k\ln x_2)\\ &=(x_1+x_2-1)(x_1-x_2)+k(\ln x_1-\ln x_2)\\ &=-\dfrac 12(x_1-x_2)+k(\ln x_1-\ln x_2),\end{split}$$ 根据对数平均不等式，有 $$\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}<\dfrac{x_1+x_2}2=\dfrac 14\implies k(\ln x_1-\ln x_2)<4k(x_1-x_2),$$ 而 $$x_1-x_2=-\dfrac{\sqrt{1-8k}}{2},$$ 因此 $$|f(x_1)-f(x_2)|<\left(4k-\dfrac 12\right)(x_1-x_2)=\left(\dfrac14-2k\right)\cdot \sqrt{1-8k}<\dfrac14-2k,$$ 命题得证．