每日一题[2890]桥梁函数

已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x-m}$，其中 $a , m \in \mathbb{R}$．

1、当 $a=m=1$ 时，设 $g(x)=f(x)-\ln x$，求函数 $g(x)$ 的单调区间．

2、当 $a=4$，$m=2$ 时，证明：$f(x)>x(1+\ln x)$．

解析

1、根据题意，有 $g(x)={\rm e}^{x-1}-\ln x$，其导函数 $$g'(x)={\rm e}^{x-1}-\dfrac 1x,$$ 注意到 $g'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，且 $g'(1)=0$，于是函数 $g(x)$ 的单调递增区间是 $(0,1)$，单调递减区间是 $(1,+\infty)$．

2、欲证不等式为 $4{\rm e}^{x-2}>x(1+\ln x)$，根据题意，有 $$\dfrac{4{\rm e}^{x-2}}{x^2}\geqslant 1\geqslant \dfrac{1+\ln x}{x},$$ 等号分别当 $x=2$ 和 $x=1$ 时取得，因此命题得证．