每日一题[2869]三合一

已知函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，当 $x<0$ 时，$f(x)>1$，且对任意的实数 $x , y \in \mathbb{R}$，等式 $f(x) f(y)=f(x+y)$ 成立，若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $f\left(a_{n+1}\right) f\left(\dfrac{1}{1+a_n}\right)=1$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$），且 $a_1=f(0)$，则下列结论成立的是（       ）

A．$f\left(a_{2013}\right)>f\left(a_{2016}\right)$

B．$f\left(a_{2014}\right)>f\left(a_{2017}\right)$

C．$f\left(a_{2016}\right)<f\left(a_{2015}\right)$

D．$f\left(a_{2013}\right)>f\left(a_{2015}\right)$

答案    D．

解析    取 $y\to 0$，有

$$f(x)\cdot f(0)=f(x),$$ 因此 $f(0)=1$．再取 $y\to -x$，有 $$f(x)\cdot f(-x)=1\implies f(-x)=\dfrac{1}{f(x)},$$ 因此当 $x<0$ 时，$f(x)>1$；当 $x>0$ 时，$0<f(x)<1$． 对于任意实数 $x,y\in\mathbb R$ 且 $x<y$，有 $$\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{f(y+(x-y))-f(y)}{x-y}=\dfrac{f(y)\left(f(x-y)-1\right)}{x-y}<0,$$ 因此 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减．进而 $$f\left(a_{n+1}\right) f\left(\dfrac{1}{1+a_n}\right)=1\iff f\left(a_{n+1}+\dfrac{1}{1+a_n}\right)=f(0)\iff a_{n+1}+\dfrac{1}{1+a_n}=0,$$ 从而 $a_1=1$，且 $$a_{n+1}=-\dfrac{1}{1+a_n},$$ 计算可得 $$a_n:\underbrace{1,-\dfrac 12,-2},\underbrace{1,-\dfrac 12,-2},\cdots,$$ 从而 $$a_{2013}=a_{2016}=-2<a_{2014}=a_{2017}=-\dfrac 12<a_{2015}=1,$$ 进而 $$f(a_{2013})=f(a_{2016})>f(a_{2014})=f(a_{2017})>f(a_{2015}).$$