每日一题[2868]螺旋飞天

如图所示，已知 $A_0(0,0)$，$A_1(4,0)$，对任何 $n \in \mathbb{N}$，点 $A_{n+2}$ 按照如下方式生成：$\angle A_n A_{n+1} A_{n+2}=\dfrac{\pi}{3}$，$\left|\overrightarrow{A_{n+1} A_{n+2}}\right|=\dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{A_n A_{n+1}}\right|$，且 $A_n , A_{n+1}, A_{n+2}$ 按逆时针排列，记点 $A_n$ 的 坐标为 $\left(a_n, b_n\right)$（$n \in \mathbb{N}$），则 $\left(\lim\limits _{n \rightarrow \infty} a_n, \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b_n\right)$ 为（       ）

A．$\left(\dfrac{20}{7}, \dfrac{4 \sqrt{3}}{7}\right)$

B．$\left(3, \dfrac{4 \sqrt{3}}{7}\right)$

C．$\left(3, \dfrac{5 \sqrt{3}}{8}\right)$

D．$\left(\dfrac{20}{7}, \dfrac{5 \sqrt{3}}{8}\right)$

答案    A．

解析    以 $A_0$ 为原点建立复平面，设复数 $z_k$ 与 $\overrightarrow{A_{k-1}A_k}$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）对应，则 $\{z_k\}$ 是首项 $z_1=4$，公比 $q=\left(\dfrac{2\pi}3:\dfrac 12\right)$ 的等比复数列，从而 $A_n$ 对应的复数为 $\{z_k\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$，有 $$\lim_{n\to \infty}S_n=\dfrac{z_1}{1-q}=\dfrac{4}{1-\left(-\dfrac14+\dfrac{\sqrt 3}4{\rm i}\right)}=\dfrac{20}{7}+\dfrac{4\sqrt 3}7{\rm i},$$ 因此 $\left(\lim\limits _{n \rightarrow \infty} a_n, \lim\limits _{n \rightarrow \infty} b_n\right)=\left(\dfrac{20}7,\dfrac{4\sqrt 3}7\right)$．