每日一题[2865]迭代函数法

对于数列 $\left\{a_n\right\}$，有 $a_1=a$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n^2}{a_n^2-2 a_n+2}$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$），以下结论中正确的是（       ）

A．若 $a<1$，则 $a_n<1$

B．对 $a \in \mathbb{R}$，均有 $0 \leqslant a_{n+1}<2$

C．若 $0<a<1$，则 $a_{n+1}<a_n$

D．对任意正整数 $n$，均有 $(a-1)\left(a_n-1\right) \geqslant 0$

答案    ACD．

解析    题中递推数列的迭代函数 $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2-2x+2}$，对应不动点为 $x=0,1,2$，如图．

因此有

$$\begin{array}{c|ccccccc}\hline a&(-\infty,0)&0&(0,1)&1&(1,2)&2&(2,+\infty)\\ \hline a_n&\nearrow 1&0&\nearrow 1&1&\nearrow 2&2&\searrow\nearrow 2\\ \hline \end{array}$$ 因此选项 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$ 正确，对于选项 $\boxed{B}$，正确的论断应该是对 $a\in\mathbb R$，均有 $0\leqslant a_{n+1}\leqslant 2$．