设 m=11⋅2+21⋅2⋅3+31⋅2⋅3⋅4+⋯+91⋅2⋯9⋅10,则 m 的小数表示中小数点后连续的数字 9 的个数为( )
A.4
B.5
C.6
D.以上答案都不对
答案 C.
解析 根据题意,有m=9∑k=1k(k+1)!=9∑k=1(1k!−1(k+1)!)=1−110!,注意到 10!=720⋅7⋅8⋅9⋅10∈(106,107),因此 m 的小数表示中小数点后连续的数字 9 的个数为 6.
备注 事实上,有 10!=3,628,800,而 1−110!=0.999999724⋯.