每日一题[2837]数值估计

设 $m=\dfrac 1{1\cdot 2}+\dfrac2{1\cdot 2\cdot 3}+\dfrac 3{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots+\dfrac 9{1\cdot 2\cdots 9\cdot 10}$，则 $m$ 的小数表示中小数点后连续的数字 $9$ 的个数为（       ）

A．$4$

B．$5$

C．$6$

D．以上答案都不对

答案    C．

解析    根据题意，有

$$m=\sum_{k=1}^9\dfrac{k}{(k+1)!}=\sum_{k=1}^9\left(\dfrac1{k!}-\dfrac1{(k+1)!}\right)=1-\dfrac1{10!},$$ 注意到 $10!=720\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\in\left(10^6,10^7\right)$，因此 $m$ 的小数表示中小数点后连续的数字 $9$ 的个数为 $6$．

备注    事实上，有 $10!=3,628,800$，而 $1-\dfrac{1}{10!}=0.999999724\cdots$．