每日一题[2829]与世隔绝

如图，椭圆的中心为原点 $O$，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e = \dfrac{\sqrt 2 }{2}$，过左焦点 ${F_1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A,A'$ 两点，$\left| {AA'} \right| = 4$．

1、求该椭圆的标准方程．

2、取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P,P'$，过 $P,P'$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外．若 $PQ \perp P'Q$，求圆 $Q$ 的标准方程．

解析

1、本题考查椭圆的标准方程，利用椭圆的基本量表达条件求解即可．

设椭圆方程为 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），则根据题意，有

$$\begin{cases} \dfrac{2b^2}a=4,\\ \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 2}2,\end{cases}\iff \begin{cases} a=4,\\ b=2\sqrt 2,\end{cases}$$ 于是所求椭圆的标准方程为 $$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}8=1.$$

2、本题考查圆与椭圆的位置关系，通过联立将公共点转化为方程组的解加以求解即可．

设 $Q(m,0)$，则圆 $Q$ 的半径 $r(m)$ 为椭圆 $E$ 上的点到 $Q$ 点距离的最小值．设 $M(x,y)$ 是椭圆 $E$ 上一点，则

$$\begin{split} MQ^2&=(x-m)^2+y^2\\ &=(x-m)^2+8\left(1-\dfrac{x^2}{16}\right)\\ &=\dfrac 12(x-2m)^2+8-m^2,\end{split}$$ 于是 $$r(m)=\sqrt {8-m^2},|m|<2$$ 此时 $P,P'$ 的横坐标均为 $2m$，进而 $$\sqrt {8\left(1-\dfrac{(2m)^2}{16}\right)}=|m|\iff m=\pm \dfrac{2\sqrt 6}3,$$ 进而圆 $Q$ 的标准方程为 $$\left(x\pm\dfrac{2\sqrt 6}3\right)^2+y^2=\dfrac{16}3.$$