每日一题[2816]凹凸有秩

已知函数 $f\left(x\right) = {\begin{cases} - {x^2} + 2x,&x \leqslant 0, \\ \ln \left(x + 1\right),&x > 0, \\ \end{cases}}$ 若 $|f\left(x\right)| \geqslant ax$，则 $a$ 的取值范围是（       ）

A．$\left( { - \infty ,0} \right]$

B．$\left( { - \infty ,1} \right]$

C．$\left[ - 2,1\right]$

D．$\left[ - 2,0\right]$

答案    D．

解析    本题考查含参不等式恒成立，利用函数图象将其转化为直线与曲线的位置关系问题是解决问题的关键．

根据题意，有

$$|f(x)|=\begin{cases} x^2-2x,&x\leqslant 0,\\ \ln(x+1),&x>0,\end{cases}$$ 设 $g(x)=|f(x)|$，则 $$g'(x)=\begin{cases} 2x-2,&x<0,\\ \dfrac1{x+1},&x>0.\end{cases}$$ 于是 $g(x)$ 在 $x=0$ 两侧的图象切线分别为 $y=-2x$ 和 $y=x$，进而可得 $a$ 的取值范围是 $[-2,0]$．

备注    数形结合的合理性是由抛物线以及对数函数图象的凹凸性保证的．