每日一题[2813]极值与切线

已知函数 $f\left(x\right) = {x^2}{{\mathrm{e}}^{ - x}}$．

1、求 $f\left(x\right)$ 的极小值和极大值．

2、当曲线 $y = f\left(x\right)$ 的切线 $l$ 的斜率为负数时，求 $l$ 在 $x$ 轴上截距的取值范围．

解析

1、本题考查利用导数研究函数极值，通过导函数零点分段讨论即可．

函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{-x(x-2)}{{\rm e}^x},$$ 于是 $$\begin{array}{c|ccccc}\hline x&(-\infty,0)&0&(0,2)&2&(2,+\infty)\\ \hline f'(x)&-&0&+&0&-\\ \hline f(x)&\searrow&0&\nearrow&4{\rm e}^{-2}&\searrow\\ \hline \end{array}$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值为 $0$，在 $x=2$ 处取得极大值为 $4{{\mathrm{e}}^{ - 2}}$．

2、本题考查利用导数研究函数的切线，抓住切点横坐标作为参数列写数量关系是解决问题的关键．

设切点横坐标为 $t$，则切线 $l$ 的斜率为负数即 $t<0$ 或 $t>2$，此时 $l$ 在 $x$ 轴上的截距

$$m(t)=t-\dfrac{f(t)}{f'(t)}=t+\dfrac{t^2{\rm e}^{-t}}{-{\rm e}^{-t}t(t-2)}=(t-2)+\dfrac{2}{t-2}+3,$$ 其中 $t-2$ 的取值范围是 $(-\infty,-2)\cup(0,+\infty)$，因此截距的取值范围是 $\left( - \infty ,0\right) \cup \left[ {2\sqrt 2 + 3, + \infty } \right)$．