每日一题[2812]连续过渡

已知函数 $f\left( x \right) = {{\mathrm{e}}^x} - \ln \left( {x + m} \right)$．

1、设 $x = 0$ 是 $f\left( x \right)$ 的极值点，求 $m$，并讨论 $f\left( x \right)$ 的单调性．

2、当 $m \leqslant 2$ 时，证明 $f\left( x \right) > 0$．

解析

1、本题考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，根据导数的零点分段讨论即可．

根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{x+m},$$ 由于 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，于是 $$f'(0)=0\implies 1-\dfrac{1}{m}=0\iff m=1,$$ 而当 $m=1$ 时，有 $f(x)={\rm e}^x-\ln(x+1)$，定义域为 $(-1,+\infty)$，且 $$f'(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{x+1},$$ 该函数为 $(-1,+\infty)$ 上的单调递增函数，从而有 $$\begin{array}{c|ccc}\hline x&(-1,0)&0&(0,+\infty)\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline f(x)&\searrow&\text{极小值}&\nearrow \\ \hline\end{array}$$ 因此 $m=1$ 符合题意，且 $f(x)$ 在 $\left( { - 1,0} \right)$ 上单调递减，在 $\left( {0, + \infty } \right)$ 上单调递增．

2、本题考查利用导数证明函数不等式，利用基本放缩处理指数和对数函数或者利用隐零点作为参数处理最值问题均可．

当 $m\leqslant 2$ 时，有

$$f(x)={\rm e}^x-\ln (x+m)\geqslant {\rm e}^x-\ln(x+2),$$ 因此只需要证明 $$\forall x>-2,{\rm e}^x-\ln (x+2)>0.$$ 根据基本放缩，有 $$\mathrm{e}^x\geqslant x+1\geqslant \ln(x+2),$$ 且两处等号不能同时取到，所以当 $m\leqslant 2$ 时，$f(x)>0$．