每日一题[2809]奇偶形态

已知首项为 $\dfrac{3}{2}$ 的等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 不是递减数列，其前 $n$ 项和为 ${S_n}\left(n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}\right)$，且 ${S_3} + {a_3},{S_5} + {a_5},{S_4} + {a_4}$ 成等差数列．

1、求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式．

2、设 ${T_n} = {S_n} - \dfrac{1}{S_n}$（$n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$），求数列 $\left\{ {T_n} \right\}$ 的最大项的值与最小项的值．

解析

1、本题考查数列的前 $n$ 项和以及基本数列的性质，将题中条件用数列的项表示再求解基本量是解决问题的关键． 由 ${S_3} + {a_3},{S_5} + {a_5},{S_4} + {a_4}$ 成等差数列，可得

$$(S_5+a_5)-(S_3+a_3)=(S_4+a_4)-(S_5+a_5)\iff 4a_5=a_3,$$ 于是数列 $\{a_n\}$ 的公比 $q=\pm \dfrac 12$，又首项为 $\dfrac{3}{2}$ 的等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 不是递减数列，因此舍去 $q=\dfrac 12$ 的解，可得 $q=-\dfrac 12$，进而 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=-3\left(-\dfrac 12\right)^n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．

2、本题考查数列的单调性，注意分奇偶结合单调性讨论是解决问题的关键． 根据第 $(1)$ 小题的结果，得

$${S_n} = 1 - {\left( { - \dfrac{1}{2}}\right)^n} = {\begin{cases} 1 + \dfrac{1}{2^n},&n~\text{为奇数}, \\ 1 - \dfrac{1}{2^n},&n~\text{为偶数}. \\ \end{cases}}$$ 当 $n$ 为奇数时，${S_n}$ 随 $n$ 的增大而减小，所以 $$1 < {S_n} \leqslant {S_1}{ = }\dfrac{3}{2},$$ 故 $$0 < {S_n} - \dfrac{1}{S_n} \leqslant {S_1} - \dfrac{1}{S_1} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6} .$$ 当 $n$ 为偶数时，${S_n}$ 随 $n$ 的增大而增大，所以 $$\dfrac{3}{4} = {S_2} \leqslant {S_n} < 1,$$ 故 $$0 > {S_n} - \dfrac{1}{S_n} \geqslant {S_2} - \dfrac{1}{S_2} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{4}{3} = - \dfrac{7}{12}.$$ 综上所述，对于 $n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$，总有 $$- \dfrac{7}{12} \leqslant {S_n} - \dfrac{1}{S_n} \leqslant \dfrac{5}{6}.$$ 所以数列 $\left\{ {T_n} \right\}$ 最大项的值为 $\dfrac{5}{6}$，最小项的值为 $- \dfrac{7}{12}$．