每日一题[2794]构造图形

设 $\overrightarrow {e_1} ,\overrightarrow {e_2}$ 为单位向量，非零向量 $\overrightarrow b = x\overrightarrow {e_1} + y\overrightarrow {e_2}$，$x,y \in {\mathbb{R}}$，若 $\overrightarrow {e_1} ,\overrightarrow {e_2}$ 的夹角为 $\dfrac{\mathrm \pi} {6}$，则 $\dfrac{| x |}{{ \left| {\overrightarrow b } \right |}}$ 的最大值等于_______．

解析    $ 2 $．

答案    本题考查平面向量的线性分解，根据齐次简化问题后借助几何图形求解是解决问题的关键． 不妨设 $\left|\overrightarrow b\right|=1$，如图，在单位圆 $O$ 上有 $E_1,E_2$ 两点且 $\angle E_1OE_2=\dfrac{\pi}6$，点 $B$ 在单位圆上运动．

过 $B$ 作 $OE_2$ 的平行线交直线 $OE_1$ 于点 $P$，以 $\overrightarrow{OE_1}$ 为正方向，则 $\overline{OP}=x$．设 $B_1B_2$ 是垂直于 $OE_2$ 的直径，$P_1,P_2$ 在直线 $OE_1$ 上且 $B_1P_1,B_2P_2$ 分别与单位圆切于点 $B_1,B_2$，则 $P$ 点的运动范围是线段 $P_1P_2$（包含端点），从而 $x$ 的取值范围是 $[-2,2]$，$|x|$ 的最大值为 $2$．