每日一题[2779]化线为点

椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率 $e = \dfrac{\sqrt 3 }{2}$，$a + b = 3$．

1、求椭圆 $C$ 的方程．

2、如图所示，$A,B,D$ 是椭圆 $C$ 的顶点，$P$ 是椭圆 $C$ 上除顶点外的任意一点，直线 $DP$ 交 $x$ 轴于点 $N$，直线 $AD$ 交 $BP$ 于点 $M$，设 $BP$ 的斜率为 $k$，$MN$ 的斜率为 $m$，证明：$2m - k$ 为定值．

解析

1、本题考查椭圆的基本量和基本方程，用基本量表达条件即可． 根据题意，有\[\begin{cases} \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 3}2,\\ a+b=3,\end{cases}\iff \begin{cases} a=2,\\ b=1,\end{cases}\]因此椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4} + {y^2} = 1$．

2、本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，利用极点极线方程将直线 $MN$ 的斜率转化为点的坐标是解决问题的关键． 设 $P(x_0,y_0)$，$BD$ 与 $AP$ 交于点 $Q(x_1,y_1)$，直线 $AP$ 的斜率为 $k_1$，则\[MN:\dfrac{x_1x}{4}+y_1y=1\implies m=-\dfrac{x_1}{4y_1},\]联立直线 $BD:y=-\dfrac 12(x-2)$ 与 $AP:y=k_1(x+2)$，可得\[x_1=\dfrac{2-4k_1}{1+2k_1},\]进而\[2m-k=-\dfrac{x_1}{2y_1}-k=\dfrac{x_1}{x_1-2}-k=\dfrac{2k_1-1}{4k_1}-k=\dfrac 12-\left(\dfrac{1}{4k_1}+k\right),\]根据椭圆的垂径定理，有\[k\cdot k_1=-\dfrac14\iff \dfrac1{4k_1}+k=0,\]于是 $2m-k$ 为定值 $\dfrac 12$．