每日一题[2769]保序同构

设 $S,T$ 是 ${\mathbb{R}}$ 的两个非空子集，如果存在一个从 $S$ 到 $T$ 的函数 $y = f\left(x\right)$ 满足：

$(1)$ $T = \left\{ {f\left(x\right)\mid x \in S} \right\}$；

$(2)$ 对任意 ${x_1},{x_2} \in S$，当 ${x_1} < {x_2}$ 时，恒有 $f\left({x_1}\right) < f\left({x_2}\right)$，那么称这两个集合＂保序同构＂．

现给出以下 $3$ 对集合：

① $A = {\mathbb{N}}$，$B = {{\mathbb{N}}^{\ast}}$；

② $A = \left\{ {x\mid - 1 \leqslant x \leqslant 3} \right\}$，$B = \left\{ {x\mid - 8 \leqslant x \leqslant 10} \right\}$；

③ $A = \left\{ {x\mid 0 < x < 1} \right\}$，$B = {\mathbb{R}}$．

其中，＂保序同构＂的集合对的序号是_______．（写出所有＂保序同构＂的集合对的序号）

答案    ①②③．

解析  理解“保序同构”满足的条件，集合 $S,T$ 均没有剩余元素，并且函数 $f(x)$ 单调递增，是解决本题的关键．分析知，函数 $f\left(x\right)$ 满足定义域为 $S$，值域为 $T$，且在 $S$ 上是增函数即可，下面给出具体的函数 $f(x)$： ① $f\left(x\right) = x + 1$；② $f\left(x\right) = \dfrac{9}{2}x - \dfrac{7}{2}$；③ $f\left(x\right) = \tan\left( {\mathrm \pi} \left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)\right)$．