每日一题[2767]零点分布

已知 $a,b$ 是非零实数，且对任意 $x\geqslant 0$，有 $(x-a)(x-b)(x-2a-b)\geqslant 0$，则（       ）
A．$a>0$

B．$a<0$

C．$b>0$

D．$b<0$

答案    C．

解析    根据题意，题中不等式对应方程的根 $x=a,b,2a+b$ 或者都在 $(-\infty,0]$ 上，或者有 $1$ 个在 $(-\infty,0]$ 上，剩下的两个根为 $(0,+\infty)$ 上的二重根．

若 $a,b<0$，则 $x=a,b,2a+b$ 都在 $(-\infty,0]$ 上，符合题意；

若 $a,b>0$，则 $x=a,b,2a+b$ 都在 $(0,+\infty)$ 上，不符合题意；

若 $ab<0$，注意到 $b\ne 2a+b$，因此二重根为 $x=a$ 且 $a=2a+b$，此时 $b<0$．

综上所述，$a$ 可正可负，而 $b$ 必然为负数．