每日一题[2765]复合函数零点

已知函数 $f\left( x \right) = \sin \left( {\omega x + \varphi } \right)$（$\omega > 0$，$0 < \varphi < {\mathrm \pi}$）的周期为 ${\mathrm \pi}$，图象的一个对称中心为 $\left( {\dfrac{\mathrm \pi} {4},0} \right)$，将函数 $f\left( x \right)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 $\dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 个单位长度后得到函数 $g\left( x \right)$ 的图象．

1、求函数 $f\left( x \right)$ 与 $g\left( x \right)$ 的解析式．

2、是否存在 ${x_0} \in \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)$，使得 $f\left( {x_0} \right),g\left( {x_0} \right),f\left( {x_0} \right)g\left( {x_0} \right)$ 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 ${x_0}$ 的个数，若不存在，说明理由．

3、求实数 $a$ 与正整数 $n$，使得 $F\left( x \right) = f\left( x \right) + ag\left( x \right)$ 在 $\left( {0,n{\mathrm \pi} } \right)$ 内恰有 $2013$ 个零点．

解析

1、由 $f(x)$ 的周期为 $\pi$ 可得 $\omega=2$，由 $f(x)$ 的一个对称中心为 $\left(\dfrac{\pi}4,0\right)$，可得 $\varphi=\dfrac{\pi}2$，于是 $f\left( x \right) = \cos 2x$，进而 $g(x)=\sin x$．

2、当 $x \in \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)$ 时，有

$$\sin x\cos 2x<\cos 2x<\dfrac 12<\sin x<\dfrac{\sqrt 2}2,$$ 于是 $f\left( {x_0} \right),g\left( {x_0} \right),f\left( {x_0} \right)g\left( {x_0} \right)$ 按照某种顺序成等差数列，即 $$2\cos 2x=\sin x+\sin x\cos 2x,$$ 设 $h(x)=\sin x+\sin x\cos 2x-2\cos 2x$，则 $$h'(x)=\cos x+\cos x\cos 2x+2\sin 2x(2-\sin x),$$ 因此在 $\left(\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}4\right)$ 上，$h'(x)>0$，$h(x)$ 单调递增，又 $$h\left(\dfrac{\pi}6\right)=-\dfrac14<0,\quad \left(\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{\sqrt 2}2>0,$$ 因此 $h(x)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}4\right)$ 上有唯一零点，因此存在唯一的 ${x_0} \in \left( {\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right)$ 满足题意．

3、根据题意，有

$$F(x)=0\iff a=-\dfrac{\cos 2x}{\sin x}\iff a=2\sin x-\dfrac{1}{\sin x}.$$ 当 $t$ 取不同的值时，方程 $t=\sin x$ 在 $x\in(0,n\pi)$ 上的解 $x$ 的个数 $m$ 为 $$\begin{array}{c|cccccc}\hline t&(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)&-1&(-1,0)&0&(0,1)&1\\ \hline m&0&\left[\dfrac n2\right]&2\left[\dfrac n2\right]&n-1&2\left[\dfrac {n+1}2\right]&\left[\dfrac {n+1}2\right] \\ \hline \end{array}$$ 而当 $a$ 取不同的值时，方程 $a=2t-\dfrac 1t$ 在个区间上的解 $t$ 的分布为 $$\begin{array}{c|cccccc}\hline a/t&(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)&-1&(-1,0)&0&(0,1)&1\\ \hline (-\infty,-1)&1&0&0&0&1&0\\ \hline -1&0&1&0&0&1&0\\ \hline (-1,1)&0&0&1&0&1&0\\ \hline 1&0&0&1&0&0&1\\ \hline (1,+\infty)&1&0&1&0&0&0\\ \hline \end{array}$$ 注意到 $2013$ 是奇数，因此 $a=\pm 1$，否则 $F(x)$ 的零点个数为偶数．从而 $$\begin{cases} a=1,\\ 2\left[\dfrac n2\right]+\left[\dfrac{n+1}2\right]=2013,\end{cases}\lor \begin{cases} a=-1,\\ \left[\dfrac n2\right]+2\left[\dfrac{n+1}2\right]=2013,\end{cases}$$ 解得 $(a,n)=\left(\pm 1,1342\right)$．