如图,在正方形 OABC 中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为 (10,0),点 C 的坐标为 (0,10),分别将线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记为 A1,A2,⋯,A9 和 B1,B2,⋯,B9,连接 OBi,过 Ai 作 x 轴的垂线与 OBi 交于点 Pi(i∈N∗,1⩽i⩽9).
1、求证:点 Pi(i∈N∗,1⩽i⩽9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程.
2、过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 M,N,若 △OCM 与 △OCN 的面积之比为 4:1,求直线 l 的方程.
解析
1、本题考查轨迹方程的求法,寻找横纵坐标的关系是求解轨迹问题的关键.过 Ai(i∈N∗,1⩽i⩽9)且与 x 轴垂直的直线方程为 x=i,Bi 的坐标为 (10,i),所以直线 OBi 的方程为 y=i10x,于是 Pi 的坐标为 (i,i210),进而点 Pi(i∈N∗,1⩽i⩽9)都在同一条抛物线上,且抛物线 E 的方程为 x2=10y.
2、设 M(10m,10m2),N(10n,10n2),则有[△OCM][△OCN]=4⟺|10m||10n|=4⟺|m|=4|n|,由直线 MN 过点 C,根据抛物线的平均性质,m,n 异号,有10m2⋅10n2=102⟺mn=−1,解得 (m,n)=(2,±12),(−2,±12),因此直线 l 的方程为y=(m+n)x−10mn,即 y=±32x+10.