每日一题[2763]平均性质

如图,在正方形 OABC 中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为 (10,0),点 C 的坐标为 (0,10),分别将线段 OAAB 十等分,分点分别记为 A1,A2,,A9B1,B2,,B9,连接 OBi,过 Aix 轴的垂线与 OBi 交于点 PiiN1i9).

1、求证:点 PiiN1i9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程.

2、过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 M,N,若 OCMOCN 的面积之比为 4:1,求直线 l 的方程.

解析

1、本题考查轨迹方程的求法,寻找横纵坐标的关系是求解轨迹问题的关键.过 AiiN1i9)且与 x 轴垂直的直线方程为 x=iBi 的坐标为 (10,i),所以直线 OBi 的方程为 y=i10x,于是 Pi 的坐标为 (i,i210),进而点 PiiN1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线 E 的方程为 x2=10y

2、设 M(10m,10m2)N(10n,10n2),则有[OCM][OCN]=4|10m||10n|=4|m|=4|n|,由直线 MN 过点 C,根据抛物线的平均性质,m,n 异号,有10m210n2=102mn=1,解得 (m,n)=(2,±12),(2,±12),因此直线 l 的方程为y=(m+n)x10mn,y=±32x+10

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复