每日一题[2761]列表画图

已知函数 $f\left(x\right)={\left|{x+1}\right|}-2{\left|{x-a}\right|}$，$a>0$． 1

1、当 $a=1$ 时，求不等式 $f\left(x\right)>1$ 的解集．

2、若 $f\left(x\right)$ 的图象与 $x$ 轴围成的三角形面积大于 $6$，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、根据题意，有

$$\begin{array}{c|ccccc}\hline x&(-\infty,-1)&-1&(-1,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline |x+1|&-1&&1&&1\\ \hline -2|x-1|&2&&2&&-2\\ \hline f(x)&\nearrow&-4&\nearrow&2&\searrow\\ \hline &&&3x-1&&-x+3\\ \hline f(x)=1&&&\dfrac 23&&2\\ \hline \end{array}$$ 因此不等式 $f(x)>1$ 的解集为 $\left( \dfrac 23,2\right)$．

2、利用第$(1)$小题的结论，有

$$\begin{array}{c|ccccc}\hline x&(-\infty,-1)&-1&(-1,a)&1&(a,+\infty)\\ \hline |x+1|&-1&&1&&1\\ \hline -2|x-a|&2&&2&&-2\\ \hline f(x)&\nearrow&-2(a+1)&\nearrow&a+1&\searrow\\ \hline &&&3x-2a+1&&-x+2a+1\\ \hline f(x)=0&&&\dfrac {2a-1}3&&2a+1\\ \hline \end{array}$$ 因此所以 $f\left(x\right)$ 的图象与 $x$ 轴围成的三角形的面积为 $$S=\dfrac 12\cdot {\left|{2a+1-\dfrac{2a-1}{3}}\right|}\cdot \left(a+1\right)=\dfrac 23\left(a+1\right)^2>6,$$ 解得 $a>2$，所以 $a$ 的取值范围为 $\left(2,+\infty\right)$．