每日一题[2751]对号入座

对于定义域为 $A$ 的函数 $f(x)$，如果任意的 $x_1,x_2\in A$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称函数 $f(x)$ 是 $A$ 上的严格增函数；函数 $f(k)$ 是在 $\mathbb N^{\ast}$ 上定义，函数值也在 $\mathbb N^{\ast}$ 中的严格增函数，并且满足条件 $f(f(k))=3k$．

1、证明：$f(3k)=3f(k)$．

2、求 $f(3^{k-1})$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）的值．

3、是否存在 $p$ 个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有 $p$ 值，若不存在，请说明理由．

解析

1、因为 $f(f(k))=3k$，所以

$$f(3k)=f(f(f(k)))=3f(k).$$

2、由 $f(3x)=3f(x)$（$x\in\mathbb N^{\ast}$）递推可得

$$f\left(3^{k-1}\cdot x\right)=3^{k-1}f(x)\implies f\left(3^{k-1}\right)=3^{k-1}f(1).$$ 根据题意，有 $f(f(1))=3\cdot 1=3$． 若 $f(1)=1$，则 $f(f(1))=f(1)=1$，矛盾； 若 $f(1)\geqslant 3$，则 $$f(f(1))\geqslant f(3)>f(1)>3,$$ 矛盾； 因此 $f(1)=2$，从而 $f\left(3^{k-1}\right)=2\cdot 3^{k-1}$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）．

3、由 $(2)$ 可得 $f(2)=3$，因此

$$f\left(3^{k-1}\cdot 2\right)=3^k,k\in\mathbb N^{\ast},$$ 因此 当 $p$ 个连续自然数从 $3^{k-1}\to 2\cdot3^{k-1}$ 时，函数值正好也是 $p$ 个连续的自然数从 $$f(3^{k-1})=2\cdot3^{k-1}\to f(2\cdot3^{k-1})=3^k,$$ 考虑到 $k$ 可以是任意正整数，因此 $p$ 可以是任意不小于 $2$ 的自然数．