每日一题[2743]雷达扫描

已知 $\dfrac{z}{2}$ 与 $\dfrac{2}{z}$ 的实部和虚部均属于 $[-1,1]$，则 复数 $z$ 在复平面上形成轨迹的面积为 $a+b\pi$，其中 $a,b\in\mathbb Z$，则 $a+b=$（       ）

A．$8$

B．$10$

C．$12$

D．前三个答案都不对

答案    B．

解析    设 $z=(\theta:r)$，则

$$\dfrac z2=\left(\theta:\dfrac r2\right),\quad \dfrac 2z=\left(-\theta:\dfrac 2r\right),$$ 进而有 $$\begin{cases} -1\leqslant \dfrac r2\cos\theta\leqslant 1,\\ -1\leqslant \dfrac r2\sin\theta\leqslant 1,\\ -1\leqslant \dfrac 2r\cos(-\theta)\leqslant 1,\\ -1\leqslant \dfrac 2r\sin(-\theta)\leqslant 1,\end{cases}\iff \min\left\{2|\cos\theta|,2|\sin\theta|\right\}\leqslant r\leqslant \max\left\{\dfrac{2}{|\cos\theta|},\dfrac{2}{|\sin\theta|}\right\},$$ 注意到对称性，只需要考虑 $\theta\in \left(0,\dfrac{\pi}4\right)$ 时的情形，为线段 $PQ$ 划过的区域（曲边三角形 $ABC$），其中 $P$ 在以 $OA$ 为直径的圆上，$Q$ 在圆在 $A$ 处的切线上，$OA=2$，如图．

可得曲边三角形 $ABC$ 的面积

$$S=[\text{梯形}~ CDAB]-[\text{扇形}~DAC]=\dfrac 32-\dfrac{\pi}4,$$ 从而所求面积为 $8S=12-2\pi$，进而 $a+b=10$．