每日一题[2733]构造图形

已知凸四边形 $A B C D$ 满足 $\angle A B D=\angle B D C=50^{\circ}$，$\angle C A D=\angle A C B=40^{\circ}$，则符合题意且不相似的凸四边形 $A B C D$ 的个数为（       ）

A．$0$

B．$1$

C．$2$

D．前三个答案都不对

答案    C．

解析    由 $\angle A B D=\angle B D C$ 可得 $AB\parallel CD$，由 $\angle C A D=\angle A C B$ 可得 $AD\parallel BC$，于是四边形 $ABCD$ 是平行四边形，问题转化为

新问题    已知 $M$ 为线段 $AC$ 的中点，射线 $CT$ 满足 $\angle xCA=40^\circ$，求 $AM$ 所对角为 $50^\circ$ 的等张角线与射线 $CT$ 的公共点个数．

不妨设 $C(0,0)$，$M(2,0)$，$A(4,0)$，则等张角线的圆心 $O(3,\tan40^\circ)$，半径 $r=\dfrac{1}{\sin50^\circ}$，$CT:y=x\tan40^\circ$，圆心 $O$ 到射线 $CT$ 的距离

$$d=\dfrac{2\tan40^\circ}{\sqrt{1+\tan^240^\circ}}=2\sin40^\circ=\dfrac{\sin80^\circ}{\sin50^\circ}<r,$$ 因此所求凸四边形 $ABCD$ 的个数为 $2$．