每日一题[2733]构造图形

已知凸四边形 $A B C D$ 满足 $\angle A B D=\angle B D C=50^{\circ}$,$\angle C A D=\angle A C B=40^{\circ}$,则符合题意且不相似的凸四边形 $A B C D$ 的个数为(       )

A.$0$

B.$1$

C.$2$

D.前三个答案都不对

答案    C.

解析    由 $\angle A B D=\angle B D C$ 可得 $AB\parallel CD$,由 $\angle C A D=\angle A C B$ 可得 $AD\parallel BC$,于是四边形 $ABCD$ 是平行四边形,问题转化为

新问题    已知 $M$ 为线段 $AC$ 的中点,射线 $CT$ 满足 $\angle xCA=40^\circ$,求 $AM$ 所对角为 $50^\circ$ 的等张角线与射线 $CT$ 的公共点个数.

不妨设 $C(0,0)$,$M(2,0)$,$A(4,0)$,则等张角线的圆心 $O(3,\tan40^\circ)$,半径 $r=\dfrac{1}{\sin50^\circ}$,$CT:y=x\tan40^\circ $,圆心 $O$ 到射线 $CT$ 的距离\[d=\dfrac{2\tan40^\circ}{\sqrt{1+\tan^240^\circ}}=2\sin40^\circ=\dfrac{\sin80^\circ}{\sin50^\circ}<r,\]因此所求凸四边形 $ABCD$ 的个数为 $2$.

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