每日一题[2726]糖水大作战

现有含糖 $15 \%$ 的糖水 $20$ 克，含糖 $40 \%$ 的糖水 $15$ 克，另有足够多的糖和水，要配制成含糖 $20 \%$ 的糖水 $30$ 克．

1、试设计多种配制方案．

2、试对你的各种配制方案作一评价，哪一种用糖最省？哪一种现有糖水的浪费最少？

解析

1、设使用 $15\%,40\%$ 的糖水、糖和水各 $a,b,c,d$ 克，则 $$\begin{cases} 0\leqslant a\leqslant 20,\\ 0\leqslant b\leqslant 15,\\ c,d\geqslant 0,\\ a+b+c+d=30,\\ 0.15a+0.4b+c=30\cdot 20\%.\end{cases}\iff \begin{cases} c=6-0.15a-0.4b,\\ d=24-0.85a-0.6b,\\ 0\leqslant a\leqslant 20,\\ 0\leqslant b\leqslant 15,\\ 0.15a+0.4b\leqslant 6,\\ 0.85a+0.6b\leqslant 24.\end{cases}$$ 如图，点 $P(a,b)$ 的可行域为直角梯形 $OABC$，其中 $A(20,0)$，$B(20,7.5)$，$C(0,20)$，$O$ 为坐标原点．

这样给出以下方案．

方案一     $O$ 点对应的：不用现有的糖水，只用糖和水．此时 $$(a,b,c,d)=(0,0,6,24).$$

方案二    $A$ 点对应的：将含糖 $15\%$ 的糖水 $20$ 克全用上，但不用含糖 $40\%$ 的糖水．此时 $$(a,b,c,d)=(20,0,3,7).$$

方案三     $B$ 点对应的：含糖 $15\%$ 的糖水用 $20$ 克，含糖 $40\%$ 的糖水用 $7.5$ 克，此时 $$(a,b,c,d)=(20,7.5,2.5,0).$$

方案四     $C$ 点对应的：不用含糖 $15\%$ 的糖水 $20$ 克全用上，含糖 $40\%$ 的糖水全用上．此时 $$(a,b,c,d)=(0,15,0,15).$$

2、上述方案中，方案四用糖最省（不用糖）；方案三现有糖水的浪费最少（$a+b$ 最大，为 $27.5$ 克）．事实上，由 $$0.15a+0.4b\leqslant 6\implies b\leqslant \dfrac{6-0.15a}{0.4}=15-\dfrac{3a}8,$$ 于是 $$a+b\leqslant a+\left(15-\dfrac{3a}8\right)=15+\dfrac{5a}8\leqslant 15+\dfrac{3}8\cdot 20=27.5,$$ 等号当 $(a,b)=(20,7.5)$ 时取得，因此 $a+b$ 的最大值为 $27.5$ 克．