每日一题[2712]坐标驱动

椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率 $e = \dfrac{\sqrt 3 }{2}$，$a + b = 3$．

1、求椭圆 $C$ 的方程．

2、如图所示，$A,B,D$ 是椭圆 $C$ 的顶点，$P$ 是椭圆 $C$ 上除顶点外的任意一点，直线 $DP$ 交 $x$ 轴于点 $N$，直线 $AD$ 交 $BP$ 于点 $M$，设 $BP$ 的斜率为 $k$，$MN$ 的斜率为 $m$，证明：$2m - k$ 为定值．

解析

1、根据题意，有

$$\begin{cases} \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 3}2,\\ a+b=3,\end{cases}\iff \begin{cases} a=2,\\ b=1,\end{cases}$$ 因此椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4} + {y^2} = 1$．

2、因为 $B\left(2,0\right)$，点 $P$ 不为椭圆顶点，则直线 $BP$ 的方程为

$$y = k\left(x - 2\right),\quad {k \ne 0,k \ne \pm \dfrac{1}{2}},$$ 代入 $\dfrac{x^2}{4} + {y^2} = 1$，可得 $$P\left( {\dfrac{{8{k^2} - 2}}{{4{k^2} + 1}}, - \dfrac{4k}{{4{k^2} + 1}}} \right).$$ 直线 $AD$ 的方程为 $y = \dfrac{1}{2}x + 1$，与直线 $BP$ 的方程联立解得 $$M\left( {\dfrac{4k + 2}{2k - 1},\dfrac{4k}{2k - 1}} \right).$$ 由 $D\left(0,1\right)$，$P\left( {\dfrac{{8{k^2} - 2}}{{4{k^2} + 1}}, - \dfrac{4k}{{4{k^2} + 1}}} \right)$，$N\left(x,0\right)$ 三点共线知 $$\dfrac{{ - \dfrac{4k}{{4{k^2} + 1}} - 1}}{{\dfrac{{8{k^2} - 2}}{{4{k^2} + 1}} - 0}}= \dfrac{0 - 1}{x - 0},$$ 解得 $N\left( {\dfrac{4k - 2}{2k + 1},0} \right)$．所以 $MN$ 的斜率为 $$m = \dfrac{{\dfrac{4k}{2k - 1} - 0}}{{\dfrac{4k + 2}{2k - 1} - \dfrac{4k - 2}{2k + 1}}} = \dfrac{4k\left(2k + 1\right)}{{2{{\left(2k + 1\right)}^2} - 2{{\left(2k - 1\right)}^2}}} = \dfrac{2k + 1}{4},$$ 则 $$2m - k = \dfrac{2k + 1}{2} - k = \dfrac{1}{2}$$ 为定值，命题得证．