每日一题[2701]两边夹

设 $\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 是无穷实数序列，则如下断言正确的有（       ）

A．如果 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$，那么 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$

B．如果 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$，那么 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 不一定存在

C．如果 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-\frac{a_{n}}{2}\right)=0$，那么 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$

D．如果 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-\frac{a_{n}}{2}\right)=0$，那么 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 不一定存在

答案    BC．

解析    选项 $\boxed{A}$ 的反例为 $a_n=1$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）；

选项 $\boxed{B}$ 的实例为 $a_n=n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）；

选项 $\boxed{C}$ 的证明：若 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 存在，设为 $A$，则\[\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-\frac{a_{n}}{2}\right)=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}a_{n+1}-\dfrac 12\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}a_n=A-\dfrac 12A=\dfrac 12A,\]于是 $A=0$．若 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 不存在，则\[\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-\frac{a_{n}}{2}\right)=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}-\frac12\right)\right)\implies \displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac 12,\]因此存在 $N$，使得当 $n>N$ 时，有\[\dfrac 13<\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<\dfrac 23,\]这样就有\[a_N\cdot \left(\dfrac 13\right)^m<a_{N+m}<a_N\cdot \left(\dfrac 23\right)^m,\]从而 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$，矛盾，选项 $\boxed{C}$ 正确，选项 $\boxed{D}$ 错误．

综上所述，断言 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 正确．